微分方程
课程笔记
微分方程，即含有未知数及其导数的方程；求解微分方程，就是从这个隐性关系中提取明确的变量关系，从几何意义上说，就是根据切线画曲线。
1. 基本概念与分类
微分方程的阶数取决于最高次导数阶数。
常微分方程(ODE)是仅含有一个独立变量的微分方程；偏微分方程(PDE)是含有两个及以上独立变量的微分方程。偏微分方程通常被作为一个独立的数学分支进行研究。
根据附加条件的不同，微分方程解决的问题可分为初值问题(IVP)和边界值(BVP)问题两类。初值问题的未知函数及其导数的独立变量取值相同；边界值问题的未知函数及其导数的独立变量取值不同。
线性方程中未知函数及其导数的各项都是一次的，且不包含未知函数的乘积或非线性函数。非线性方程中未知函数或其导数有乘积、幂次、非线性函数等情况。
简化后的方程中所有非零项的指数相等称为齐次方程。
\(n\)阶线性微分方程通式为
\[k*n(x)y^{(n)} + k*{n - 1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + k_1(x)y' + k_0(x)y = g(x)\]若\(g(x) = 0\)则称为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程
若所有系数\(k_j(x), j = 0, 1, 2, \cdots, n\)均为常数，则称为常系数线性微分方程，否则称为变系数线性微分方程
2. 微分方程解的特性
通解是所有满足方程的函数的集合；特解是满足某些初始条件或边界条件的解。
解的线性相关性：
如果在某一区间\(x \in (a, b)\)，存在一组不全为 0 的常数\(C_1, C_2, \cdots, C_n\)使得一组函数\(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\)满足
\[C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \cdots + C_ny_n(x) \equiv 0\]则这组函数\(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\)在区间\(x \in (a, b)\)上线性相关
若当且仅当\(C_1 = C_2 = \cdots = C_n = 0\)时，该函数集合线性无关
函数组线性无关判定的一种方法是 Wronskian 行列式。
齐次和非齐次
线性微分方程解的特性：𝑛 阶齐次线性微分方程一定有 𝑛 个线性无关的解；它们构成该 𝑛 阶齐次线性微分方程的基本解组；该方程的通解可以用这 𝑛 个线性无关的解加权线性叠加表示。线性微分方程的通解一定是所有解；非线性微分方程则不一定。
非齐次线性微分方程
\[k*n(x)y^{(n)} + k*{n - 1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + k_1(x)y' + k_0(x)y = g(x)\]\(g(x) \ne 0\)时，称为非齐次线性微分方程，对应的齐次方程为
\[k*n(x)y^{(n)} + k*{n - 1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + k_1(x)y' + k_0(x)y = 0\]令\(y_p\)为非齐次方程\(L(y) = g(x)\)的特解，\(y_h\)为对应齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为
\[y = y_p + y_h\]即：非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程特解
- 初值问题通常具有唯一解，解可能只在\(t_0\)附近的一个区间有效，且解对初始条件敏感；边界值问题可能无解或有多个解，解通常在整个区间\([t_1, t_2]\)上定义，解的类型可能受边界值约束。
3. 特定形式微分方程的解法
微分方程的标准形式
\[y' = f(x, y) \\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{M(x, y)}{-N(x, y)}\]微分方程的微分形式
\[M(x, y) \, \text{d}x + N(x, y) \, \text{d}y = 0\]3.1 可分离变量微分方程
对于微分形式，若满足\(M(x, y) = M(x)\)和\(N(x, y) = N(y)\)则称为可分离变量的微分方程
\[M(x) \, \text{d}x + N(y) \, \text{d}y = 0\]解法：直接积分
\[\int M(x) \, \text{d}x + \int N(y) \, \text{d}y = C\] \[e.g.\] \[\begin{align*} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \frac{x^2 + 2}{y} \\ (x^2 + 2) \, \text{d}x - y \, \text{d}y &= 0 \\ \frac{1}{3} x^3 + 2x - \frac{1}{2} y^2 &= C \end{align*}\]3.2 齐次微分方程
对于一阶微分方程，如果实数\(t\)满足
\[f(tx, ty) = f(x, y)\]则称为齐次方程（注：此处的”齐次“在狭义上仅针对一阶微分方程成立，且与齐次线性微分方程中的”齐次“并非统一概念）
解法：令\(y = vx,v = v(x)\)，有\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = v + x \frac{\text{d}v}{\text{d}x}\)
\[e.g.\] \[y' = \frac{y + x}{x}\]令\(y = vx\)，代入
\[\begin{align*} v + x \frac{\text{d}v}{\text{d}x} &= v + 1 \\ v &= \ln|x| + C \\ y &= \ln|kx| \end{align*}\]3.3 恰当方程
对于微分形式，若满足\(M(x, y)\)和\(N（x, y）\)都是连续函数且在 \(𝑥𝑦\) 平面上的具有一阶连续偏导，当且仅当下式成立
\[\frac{\partial M(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x, y)}{\partial x}\]则称为恰当方程
或：若存在函数\(g(x, y)\)满足
\[\text{d}g(x, y) = M(x, y) \, \text{d}x + N(x, y) \, \text{d}y\]则称为恰当方程
- 恰当方程的解为\(g(x, y) = C\)
解法： 若原方程为恰当方程，利用\(\frac{\partial g(x, y)}{\partial x} = M(x, y)\)对\(x\)积分，常数项为\(h(y)\)， 再利用\(\frac{\partial g(x, y)}{\partial y} = N(x, y)\)解出
\[e.g.\] \[2xy \, \text{d}x + (1 + x^2) \, \text{d}y = 0\]因为
\[\frac{\partial M(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} = 2x\]所以原方程为恰当方程
\[\begin{align*} \frac{\partial g(x, y)}{\partial x} &= M(x, y) = 2xy\\ g(x, y) &= x^2y + h(y)\\ \frac{\partial g(x, y)}{\partial y} &= x^2 + h'(y) = N(x, y) = 1 + x^2 \end{align*}\]故
\[\begin{align*} h'(y) &= 1\\ h(y) &= y + C_1\\ g(x, y) &= x^2y + y + C_1 = C \end{align*}\]即
\[x^2y + y = C_2\]若原方程不是恰当方程，在某些特殊情形下可以转化为恰当方程
令\(I(x, y)\)为积分因子，则\(I(x, y) [M(x, y) \, \text{d}x + N(x, y) \, \text{d}y] = 0\) 可以转化为恰当方程
- 满足\(\frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) \equiv g(x)\)，即结果仅为\(x\)的函数，则\(I(x, y) = e^{\int g(x)dx}\)
- 满足\(\frac{1}{M} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) \equiv h(y)\)，即结果仅为\(y\)的函数，则\(I(x, y) = e^{-\int h(y)dy}\)
- 满足\(M = yf(xy), N = xg(x, y)\)，则\(I(x, y) = \frac{1}{xM - yN}\)
3.4 一阶线性微分方程
对于一阶的标准形式，如果\(f(x, y)\)可以写成
\[f(x, y) = -p(x)y + q(x)\]则微分方程可以写成如下形式
\[y' + p(x)y = q(x)\]用常数变易法的思想，线性非齐次常微分方程一定能分解为对应齐次方程和降阶的非齐次方程（类似于因式分解）。
解法：令\(y(x) = u(x)v(x)\)（为了分离变量），则\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = v \frac{\text{d}u}{\text{d}x} + u \frac{\text{d}v}{\text{d}x}\) ，代入
\[v \frac{\text{d}u}{\text{d}x} + u \left( \frac{\text{d}v}{\text{d}x} + P(x) v \right) = Q(x)\]令\(\frac{\text{d}v}{\text{d}x} + P(x) v = 0\) 可得
\[v(x) = C_1 \int e^{-P(x)} \, \text{d}x\]代入原方程得
\[u(x) = \frac{1}{C_1} \int Q(x) e^{\int P(x) \, \text{d}x} \, \text{d}x + C_2\]因此
\[y = \frac{\int Q(x) e^{\int P(x) \, \text{d}x} \, \text{d}x + C}{e^{\int P(x) \, \text{d}x}}\]恰当方程角度的解法：因为满足\(\frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) \equiv p(x)\)，即所有一阶线性微分方程都可以转化为恰当方程，积分因子\(I(x) = e^{\int p(x) \, \text{d}x}\)
原方程转化为
\[\frac{\text{d} (y I(x))}{\text{d}x} = I(x) q(x)\]对\(x\)积分并整理得
\[y = \frac{\int I(x) q(x) \, \text{d}x + C}{I(x)}\] \[e.g.\] \[\begin{align*} y' + \frac{4}{x}y &= x^4 \\ I(x) &= e^{\int \frac{4}{x} \, \text{d}x} = x^4 \\ y &= \frac{\int x^8 \, \text{d}x + C}{x^4} = \frac{1}{9}x^5 + \frac{C}{x^4} \end{align*}\]3.5 伯努利方程
\[y' + p(x)y = q(x)y^n\]其中\(n\)为实数
解法：令\(z = y^{1 - n}\)，转化为一阶线性微分方程，后续步骤完全同一阶线性微分方程，不再举例，最后记得换回\(y\)为因变量即可。
3.6 高阶常系数线性齐次微分方程
\(n\)阶常系数线性齐次微分方程
\[y^{(n)} + p*1y^{(n-1)} + \cdots + p*{n-1}y' + p\_{n}y = 0\]求解思路有两种，一种是经典法，一种是拉普拉斯变换法。
二阶常系数线性齐次微分方程的经典解法：特征方程法（\(n\)阶常系数方程同理）
\[y'' + py' + qy = 0\]令\(y = e^{rx}\)，代入原方程得到特征方程\(r^2 + pr + q = 0\)，解得特征方程的根为\(r_1,r_2\)，特征方程根的判别式为\(\Delta\)，则齐次方程通解如下
\[\begin{cases} y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}, \Delta > 0\\ y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}, \Delta = 0\\ y = (C_1\cos \beta x + C_2 \sin \beta x)e^{\alpha x},\Delta < 0 \end{cases}\]3.7 高阶常系数线性非齐次微分方程
\[y^{(n)} + p*1y^{(n-1)} + \cdots + p*{n-1}y' + p\_{n}y = f(x)\]解法思路均为待定系数法求出特解，加上对应齐次方程的通解即为非齐次方程的通解，齐次方程通解求法见上。此处给出二阶常系数线性非齐次微分方程中的两种特定形式求特解的方法。
第一种
\[y'' + py' + qy = e^{\lambda x} P_m(x)\]令\(y^* = e^{\lambda x} \cdot Q(x), Q(x) = x^k \cdot Q_m(x)\)，代入方程求两次导得
\[Q''(x) + (2\lambda + p)Q'(x) + (\lambda^2 + p\lambda + q)Q(x) = P_m(x)\] \[\begin{cases} \begin{align*} &若\lambda^2 + p\lambda + q \neq 0，&\lambda 不是特征根\\ &若\lambda^2 + p\lambda + q = 0，但 2\lambda + p \neq 0, &\lambda 是单重特征根\\ &若 2\lambda + p = 0, &\lambda 是双重特征根 \end{align*} \end{cases}\]同时对比系数可求出\(Q_m(x)\)中的系数
\[y^* = x^k \cdot e^{\lambda x} \cdot Q_m(x), k = \begin{cases} 0, \lambda 不是特征根\\ 1, \lambda 是单重特征根\\ 2, \lambda 是双重特征根 \end{cases}\]第二种
\[y'' + py' + qy = e^{\alpha x}[P_l(x) \cos\beta x + P_n(x) \sin\beta x]\]将右侧化为\(e^{\lambda x}\cdot P_m(x)\)的形式，其中\(\lambda\)为复数
令\(y^* = x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot[R_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\)，代入求导，对比可求得系数
其中
\[k = \begin{cases} 0, \alpha + i\beta 不是特征根\\ 1, \alpha + i\beta 是特征根 \end{cases}\]3.8 欧拉方程
\[x^n y^{(n)} + p*1x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + p*{n-1}y' + p_ny = f(x)\]解法：令\(\begin{cases} x=e^t, x>0\\ x=-e^t, x<0 \end{cases}\)，代入，转化为常系数线性非齐次微分方程，后续步骤完全同常系数线性非齐次微分方程，不再举例，最后记得换回\(y\)为因变量即可。