概率论与数理统计

第一章 基本概念

集合运算规律

事件可以被建模为集合，满足集合间的关系和运算规律

\[\begin{aligned} & A \cup B & & \text{和/并} \\ & A \cap B & & \text{积/交} \\ & A - B & & \text{差} \\ & A \cap B = \varnothing & & \text{互斥} \\ & A \cap B = \varnothing, A \cup B = \Omega & & \text{对立}\\ & A \cup B = B \cup A & & \text{并交换律} \\ & A \cap B = B \cap A & & \text{交交换律} \\ & (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) & & \text{并结合律} \\ & (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) & & \text{交结合律} \\ & A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) & & \text{交对并分配律} \\ & A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) & & \text{并对交分配律} \\ & \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} & & \text{德摩根律 1} \\ & \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} & & \text{德摩根律 2} \end{aligned}\]

基本概率模型

• 基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等(\(P(A) = \frac{k}{n}\))的概率模型称为古典概型。

• 事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积等)成比例的概率模型称为几何概型。几何概型的基本事件有无限个，每个事件发生的可能性相等。

基本计数原理

• 分类加法计数原理：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有\(m_{1}\)种不同的方法，在第 2 类办法中有\(m_{2}\)种不同的方法…… 在第 n 类办法中有\(m_{n}\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n}\)种不同的方法。
• 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有\(m_{1}\)种不同的方法，做第 2 步有\(m_{2}\)种不同的方法…… 做第 n 步有\(m_{n}\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_{1}\times m_{2}\times\cdots\times m_{n}\)种不同的方法。

概率公理化定义

设\(E\)是随机试验，\(\Omega\)是它的样本空间，对于\(E\)的每一个事件\(A\)赋予一个实数，记为\(P(A)\)，称为事件\(A\)的概率，满足下列条件：

• 非负性：对于每一个事件\(A\)，有\(P(A)\geqslant0\)；
• 规范性：对于必然事件\(\Omega\)，有\(P(\Omega)=1\)；
• 可列可加性：设\(A_{1},A_{2},\cdots\)是两两互不相容的事件，有\(P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots)=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots\)

第二章 概率公式

\[\begin{aligned} & P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}, \ (P(A)>0) & & {条件概率：} A {发生的条件下，} B {发生的概率} \\ & P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) & & {积事件乘法公式：两事件同时发生的概率} \\ & P(AB) = P(A)P(B) & & {独立性公式：} A {与} B {相互独立的充要条件} \\ & P(B)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i}) & & {全概率公式：其中}A_{i} {是样本空间} \Omega {的一个划分} \\ & P(A_{j}|B)=\frac{P(A_{j})P(B|A_{j})}{\sum_{i = 1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}, \ (j = 1,2,\cdots,n) & & {贝叶斯公式：用于计算后验概率} \end{aligned}\]

第三章 随机变量

第四章 数字特征

第五章 常见分布

第六章 参数估计